Elaborazione quantistica pesata dei segnali: approssimazione polinomiale a bassa profondità con applicazioni alle reti di Kolmogorov--Arnold

Abstract degli autori

L’elaborazione quantistica dei segnali (QSP) è un potente framework quantistico per generare e approssimare polinomi univariati. Tuttavia, la QSP è spesso limitata dai colli di bottiglia legati alla profondità dei circuiti e dai vincoli di parità sulla classe di polinomi realizzabili. In questo lavoro introduciamo l’elaborazione quantistica pesata dei segnali (WQSP), un’estensione della QSP in cui all’operatore di rotazione centrale viene assegnata una funzione peso. Questa formulazione offre una comprensione più profonda della QSP, che emerge come caso particolare della WQSP con pesi unitari. La scelta dei pesi determina la struttura e le capacità espressive dei circuiti WQSP. Quando i pesi sono numeri naturali maggiori di uno, la WQSP si riduce a una versione potata della QSP, rivelando ridondanze nei parametri del framework standard. Attraverso un’adeguata scelta di pesi interi, la WQSP ottiene riduzioni da lineari a esponenziali nel numero di parametri necessari per realizzare polinomi univariati limitati arbitrari, preservando la qualità dell’approssimazione. Per pesi generici, stabiliamo i corrispondenti limiti dell’errore di approssimazione e mostriamo che, in molti casi, l’approssimazione è esatta. Analizziamo la WQSP sia da una prospettiva deterministica, in cui la generazione di polinomi è formulata come soluzione di un sistema lineare, sia da una prospettiva di machine learning quantistico, in cui la WQSP funge da modello di apprendimento quantistico strutturato ed espressivo. Impieghiamo inoltre questo framework di apprendimento per parametrizzare funzioni di attivazione apprendibili nelle reti di Kolmogorov--Arnold per l’approssimazione di funzioni multivariate. I nostri risultati mostrano che la WQSP offre un framework compatto, flessibile e fondato teoricamente per realizzare polinomi univariati arbitrari, richiedendo un numero significativamente inferiore di parametri addestrabili rispetto alla QSP convenzionale. Ne derivano architetture neurali espressive ed efficienti in termini di parametri, che evidenziano il potenziale della WQSP come primitiva scalabile per il machine learning potenziato dalla computazione quantistica.