Trasmettere algebre attraverso canali quantistici

Abstract degli autori

Sviluppiamo una teoria della trasmissione esatta di algebre $C^*$ di dimensione finita attraverso canali quantistici. Queste algebre descrivono informazioni classico-quantistiche ibride, consentendo alla dimensione del sistema quantistico di dipendere dal messaggio classico. Ammettere codifiche e decodifiche arbitrarie dà luogo a un insieme di tipi di algebra trasmissibili, ordinati per immersione, che unifica la teoria dell’informazione a errore zero con la correzione degli errori algebrica degli operatori. Ci chiediamo se questo insieme ammetta un’algebra dominante nella quale si immerga ogni algebra trasmissibile. Il nostro risultato centrale è che la dominanza può venire meno anche in dimensioni ridotte. In assenza di un’algebra dominante, diverse algebre massimali non confrontabili possono descrivere usi ottimali differenti dello stesso canale, costringendo l’utente a sceglierne una in base al compito operativo e al tipo di informazione da preservare. Introduciamo capacità ibride che ricostruiscono l’unico tipo di algebra dominante possibile e presentiamo una caratterizzazione finita completa della dominanza mediante tipi di algebra minimali proibiti. Individuiamo algebre dominanti per i canali i cui sistemi di operatori sono isomorfi per grafo ad algebre $*$, compresi i canali altamente divisibili, e per i canali con capacità quantistica a errore zero su un singolo uso pari a zero. Per i prodotti tensoriali, dimostriamo che la codifica congiunta può produrre nuovi tipi di algebra, fornendo un analogo algebrico della superadditività della teoria di Shannon. La dominanza può venire meno nell’uso congiunto di due canali, anche quando ciascuno dei due ammette separatamente algebre dominanti. Infine, costruiamo un canale le cui potenze tensoriali $n$-esime hanno un numero doppiamente esponenziale di tipi di algebra massimali, raggiungendo la massima crescita possibile per i canali di dimensione finita. Di conseguenza, per questo canale compaiono nuovi tipi di algebra trasmissibili a lunghezze di blocco arbitrariamente grandi, perciò la sua struttura completa di trasmissione non può essere generata da alcun insieme finito di codici con lunghezza di blocco limitata.