Il numero di Lovász non è l’unico: un continuum di punti di Rényi nello spettro dei grafi assistito dall’entanglement

Abstract degli autori

Lo spettro asintotico dei grafi con assistenza dell’entanglement di Li e Zuiddam è costituito dai parametri di grafo normalizzati che sono additivi rispetto alle unioni disgiunte, moltiplicativi rispetto ai prodotti forti e monotoni rispetto ai coomomorfismi con assistenza dell’entanglement; la capacità di Shannon con assistenza dell’entanglement è il loro minimo puntuale. Per quanto ne sappiamo, il numero di Lovász $\vartheta$ era il suo unico elemento noto. Ne troviamo un continuum di altri. Tre quantità di Duan e Winter, $\log_2\vartheta$, la capacità minima di Holevo $C_{\min}$ e il logaritmo del costo di simulazione senza segnalazione $Σ$, sono i raggi informativi minimi dei canali classico-quantistici compatibili con un grafo, misurati mediante divergenze di Petz-Rényi di ordine $0$, $1$ e $2$. Per l’ordine zero, questo risultato si deve a Schrijver (come gli attribuisce Dalai) e a Duan e Winter; per l’ordine uno, si tratta della formula min-max per la capacità di Holevo. Interpolando rispetto all’ordine si ottiene una famiglia $\vartheta_α$, $0\leα\le2$, e dimostriamo che ogni suo elemento appartiene allo spettro. Il passaggio principale, la moltiplicatività rispetto ai prodotti forti per canali che non devono necessariamente fattorizzarsi, discende da un’identità esatta di inclusione annidata per le compressioni. I raggi di Rényi nella versione sandwiched, di ordine $β\in[1/2,\infty]$, danno la stessa famiglia, con $α=2-1/β$. Sul ciclo a cinque vertici la famiglia assume tutti i valori in $[\sqrt5,5/2]$. Una disuguaglianza di Hilbert-Schmidt per il pentagono dà $C_{\min}(C_5)=\log_2(5/2)$, dimostrando una congettura di Duan e Winter. Risolviamo inoltre i due anelli ancora aperti della loro catena di disuguaglianze: il tasso di simulazione senza segnalazione a livello di grafo è sempre uguale al suo valore a singola lettera $\log_2Σ(G)$, e un grafo di 32 vertici derivato dal quadrato magico di Mermin-Peres soddisfa $C_{\min}<\log_2Σ$, come certificato da calcoli esatti in aritmetica razionale. Infine, $Σ$ non supera mai il rango proiettivo del complementare; una disuguaglianza sui ranghi per lo stesso quadrato rende stretta questa disuguaglianza per un grafo di 1440 vertici.