Errore di discretizzazione spaziale per la simulazione della chimica quantistica

Abstract degli autori

La chimica quantistica non relativistica si basa sull’equazione di Schrödinger in uno spazio continuo e illimitato. Gli approcci computazionali su computer classici e quantistici spesso troncano il dominio spaziale e introducono una base a dimensione finita, riducendo così il problema continuo a uno di dimensione finita. Si pone quindi una questione fondamentale: in che misura questa approssimazione cattura il problema continuo originale? In questo lavoro sviluppiamo un quadro generale di Sobolev-Galerkin per stimare gli errori di discretizzazione spaziale nella simulazione quantistica con Hamiltoniane illimitate. Applichiamo questo quadro ai sistemi coulombiani a molti corpi e ricaviamo stime degli errori sia di periodizzazione sia di Galerkin per la dinamica della funzione d’onda e per le energie dello stato fondamentale. Per la dinamica, l’errore di proiezione su base finita della funzione d’onda esatta non cattura l’intero errore di discretizzazione della base: nella nostra stima compare un ulteriore errore dinamico di proiezione, con un tasso diverso, e introduciamo un argomento basato sul prodotto interno per controllare questo contributo. È interessante notare che i tassi di convergenza spaziale per la dinamica della funzione d’onda e per le energie dello stato fondamentale differiscono quantitativamente. Per le energie dello stato fondamentale, dimostriamo un tasso di convergenza ottimale $M^{-1}$ a dimensione della cella fissata, dove $M$ è il numero di funzioni di base a una particella. Mostriamo inoltre che un tasso di convergenza uniforme $M^{-1}$ è impossibile per il corrispondente errore della funzione d’onda in tempo reale con dati iniziali generali in $H^2$. L’analisi si basa su stime di Sobolev a molti corpi con dipendenza polinomiale esplicita dalla dimensione del sistema. Combinando queste stime con algoritmi quantistici all’avanguardia, otteniamo, per quanto ne sappiamo, i primi limiti rigorosi di complessità end-to-end per la simulazione quantistica delle dinamiche molecolari ed elettroniche, con tutti gli errori spaziali controllati esplicitamente. Il numero di funzioni di base è determinato direttamente dal problema continuo, senza regolarizzazione.