Semantica premonoidale e diagrammatica scalabile della computazione quantistica fermionica

Abstract degli autori

La computazione quantistica basata su modi fermionici locali (LFM) ha spazi degli stati puri che, tramite la rappresentazione di Jordan-Wigner, sono isomorfi agli spazi degli stati dei qubit, ma la sua struttura composizionale è sottilmente diversa. Il formalismo algebrico che specifica come immergere i sistemi fermionici è infatti alla base di una nozione di composizione parallela per la quale, in generale, viene meno la consueta legge di interscambio delle categorie monoidali. Forniamo una descrizione categoriale di questo fenomeno. Partendo dalla semantica dell’applicazione dei gate fermionici basata sulle algebre CAR, mostriamo che i processi LFM formano una categoria premonoidale simmetrica il cui centro coincide esattamente con la sottocategoria pari, che preserva la parità. Gli stessi processi si possono organizzare in alternativa usando il prodotto tensoriale ordinario e una presimmetria fermionica, naturale esattamente sui morfismi pari. Per ragionare diagrammaticamente in questa seconda presentazione, introduciamo i pronap, un allentamento della nozione di prop in cui le permutazioni non sono necessariamente naturali, e li usiamo per organizzare una gerarchia di frammenti del calcolo fermionico ZW, rilevanti per lo studio dei circuiti fermionici su insiemi di gate motivati dalla fisica. Estendiamo quindi ai pronap la notazione diagrammatica scalabile. In questo contesto definiamo zuccheri sintattici ispirati a SZX e GSA, con la particolarità che le frecce matriciali codificano minori e determinanti, mentre i triangoli dei grafi codificano i Pfaffiani delle sottomatrici principali. Queste costruzioni producono forme normali eleganti e dimostrazioni di completezza per le nostre presentazioni dei frammenti EoW, FoW, EW e FW. In particolare, la presentazione FW fornisce una nuova forma normale per il frammento matchgate, distinta dalla forma normale rWGS-X della presentazione planar-W (pW) della stessa categoria. Il quadro che ne risulta collega la semantica dei circuiti fermionici, la riscrittura diagrammatica con notazioni scalabili e l’algebra dei determinanti e dei Pfaffiani.