Robustezza delle teorie a variabili nascoste e scalatura di matrici

Abstract degli autori

Motivato dai fondamenti della meccanica quantistica e dalla teoria della complessità, Aaronson ha formalizzato una teoria a variabili nascoste ispirata a una proposta di Schrödinger. A ogni stato quantistico e a ogni operatore unitario, la teoria di Schrödinger associa una distribuzione di probabilità congiunta tramite l’algoritmo di Sinkhorn: riscalare le colonne e le righe della matrice dei moduli degli elementi dell’operatore unitario in modo che i margini coincidano rispettivamente con le probabilità della regola di Born per gli stati quantistici iniziale e finale. Aaronson ha congetturato che questa mappa sia robusta, cioè che perturbazioni degli input di entità inverso-polinomiale producano perturbazioni della distribuzione congiunta altrettanto piccole, una proprietà importante per le applicazioni alla teoria della complessità. Presentiamo un controesempio a questa congettura: costruiamo uno stato puro e due operatori unitari esponenzialmente vicini, eppure le distribuzioni di probabilità congiunta assegnate dalla teoria di Schrödinger differiscono di almeno un termine di ordine inverso-lineare in almeno una componente e di una quantità costante secondo la distanza di variazione totale. Proponiamo inoltre una versione modificata della teoria di Schrödinger che soddisfa il requisito di robustezza, pur mantenendo tutte le altre proprietà desiderabili. Questo fornisce un quadro completo di quali assiomi di Aaronson possano essere soddisfatti simultaneamente dalle teorie a variabili nascoste.