Quasi-norme e anti-norme di Schatten multi-indicizzate e additività delle entropie di Rényi condizionate

Abstract degli autori

Introduciamo e studiamo spazi di Schatten multi-indicizzati, che estendono gli spazi commutativi $\ell_{q_1}\![\ell_{q_2}\![\ell_{q_3}\![\dots]]]$ -spazi agli strumenti della teoria quantistica. Estendono le norme di Schatten a valori di operatori di Pisier e le quasi-norme di Schatten a due indici introdotte di recente. Per ogni tupla ordinata $\mathcal{Q}=(q_1,\dots,q_n)$ di indici non nulli, definiamo una quasi-norma (per indici positivi) o un’anti-norma (per indici negativi) sugli operatori che agiscono su un prodotto tensoriale di $n$ spazi di Hilbert. Lo facciamo per indici dello stesso segno che soddisfano la condizione di compatibilità reciproca $|\frac{1}{q_i}-\frac{1}{q_j}|\leq1$. Oltre a stabilire proprietà desiderabili di queste quasi-norme e anti-norme mediante formule di fattorizzazione che combinano tecniche di teoria degli spazi di operatori e di analisi matriciale, estendiamo al contesto multi-indicizzato e delle quasi-norme diversi strumenti e risultati fondamentali di [Devetak, Junge, King, Ruskai, CMP 2006]. Tra questi figurano una disuguaglianza di Minkowski non commutativa generale che mette in relazione sistemi scambiati e due uguaglianze di rimozione dell’identità. Di conseguenza, l’ipercontrattività completa e l’ipercontrattività inversa completa si tensorizzano per tutti gli indici compatibili, compresi quelli negativi. Per quanto riguarda la teoria dell’informazione quantistica, dimostriamo che le entropie condizionali di output minima completamente limitata e massima sono additive rispetto ai prodotti tensoriali di canali quantistici per tutti gli $α\geq\frac12$. Questo estende il caso $α>1$ di [Fawzi, Kochanowski, Rouzé, Van Himbeeck, CMP 2026] e i risultati non condizionati di [Devetak, Junge, King, Ruskai, CMP 2006]. Oltre ai prodotti tensoriali, stabiliamo regole a catena per $\tilde H^\uparrow_α$, $α\in[\frac12,1)$, per composizioni di canali che possono trasmettere segnali, estendendo all’intero intervallo $α\in[1/2,1)$ la regola a catena per l’entropia max liscia usata nella certificazione dell’entanglement indipendente dal dispositivo.