Fattorizzazione dei fattori di fase dell’elaborazione quantistica del segnale mediante derivate logaritmiche

Abstract degli autori

L’elaborazione quantistica del segnale (QSP) richiede il calcolo efficiente dei fattori di fase associati a una trasformazione polinomiale. Un metodo di fattorizzazione stabile già esistente evita di calcolare direttamente le radici, ma si basa sul metodo di Prony per ricavare un polinomio dalle somme di potenze pesate delle sue radici (arXiv:2202.02671). Presentiamo una modifica di questo approccio che elimina il metodo di Prony usando la derivata logaritmica di un polinomio associato. Poiché la derivata logaritmica ha lo stesso residuo in corrispondenza di ogni radice, tenendo conto della molteplicità, i suoi coefficienti di Fourier forniscono direttamente le somme di potenze non pesate delle radici all’interno del disco unitario. Le identità di Newton--Girard consentono quindi di ricavare i coefficienti del polinomio corrispondente senza calcolarne le radici. L’algoritmo risultante ha una complessità computazionale pari a $O(d\log^2 d)$ e semplifica la procedura di fattorizzazione del metodo originale. Negli esperimenti numerici sulla simulazione Hamiltoniana, il filtraggio degli autostati, l’inversione di matrici e l’operatore di Fermi-Dirac, la nostra implementazione calcola i fattori di fase in pochi secondi, con errori massimi dell’ordine di $10^{-12}$.