Codici quantistici nella metrica di Lee

Abstract degli autori

Presentiamo un quadro di codifica quantistica per il rumore discreto dovuto a piccoli spostamenti, in cui gli errori sui qudit sono modellati come spostamenti di Pauli di tipo $X$ e $Z$ a basso peso, analoghi a piccoli spostamenti nello spazio delle fasi nei sistemi a variabili continue. Questa struttura è rispettata approssimativamente dal rumore degli spin nucleari ed è descritta dalla metrica di Lee, il che motiva un’estensione quantistica della teoria classica dei codici nella metrica di Lee. Sviluppiamo questo formalismo per i codici stabilizzatori su $\mathbb{Z}_q$ per qualsiasi $q$, usando metriche di Lee congiunte e separate per le componenti $X$ e $Z$ degli errori. Per i qubit, la metrica congiunta conta gli errori $Y$ due volte e può produrre codici che rilevano e correggono errori $X$ e $Z$ usando meno qubit fisici rispetto ai codici progettati per la metrica convenzionale di Hamming. Esaminiamo la propagazione del peso di Lee sotto gate Clifford e convertiamo in codici di qubit i codici su $\mathbb{Z}_4$ tramite la mappa di Gray, individuando codici con gate non-Clifford sui qubit a doppia trasversalità. Per i codici quantistici CSS Lee-LDPC su $n$ qudit, dimostriamo che la distanza di Lee non può superare $O(n)$, uniformemente rispetto a $q$, mostrando un ostacolo inatteso all’uso del grande spazio di Hilbert interno di un qudit con $q$ grande per realizzare codici con elevata distanza di Lee. In presenza di dinamiche di Metropolis locali, alcuni «codici di ripetizione elicoidali» classici $q$-ari hanno tempi di memoria esponenzialmente lunghi a temperatura fissa per valori di $q$ sufficientemente grandi, che crescono con la lunghezza del sistema; questo fenomeno può essere interpretato come una rottura spontanea della simmetria a temperatura finita, anche in modelli locali unidimensionali. I prodotti di ipergrafi di questi codici di ripetizione elicoidali forniscono codici quantistici locali bidimensionali che ereditano l’autocorrezione per gli errori $Z$, ma l’autocorrezione per gli errori $X$ resta una questione aperta.