Prodotti cup e gate II: operadi, twist e gate indirizzabili interni al codice

Abstract degli autori

Nella Parte I abbiamo introdotto un quadro generale per costruire gate logici nei codici quantistici CSS a partire da invarianti di coomologia, concentrandoci sui prodotti cup e sulle loro generalizzazioni, dai codici topologici ai codici qLDPC. In particolare, abbiamo prodotto una famiglia di gate logici $C^{k-1}Z$, che abbiamo chiamato copy-cup, su $k$ copie dello stesso codice quantistico, implementati mediante circuiti a profondità finita. Qui ampliamo notevolmente questo quadro introducendo twist che incorporano automorfismi dei codici, operazioni di coomologia twistate di ordine superiore e operazioni di ripiegamento in coomologia relativa. Il quadro comprende operazioni che sollevano i coefficienti da $\mathbb{Z}/2$ a $\mathbb{Z}/2^k$, consentendo tutti i gate logici diagonali, come le rotazioni a singolo qubit $\operatorname{R}(2π/2^k)$. La composizione di queste operazioni con mappe che selezionano classi di coomologia produce gate logici indirizzabili. Tra gli esempi figurano gate $T$ indirizzabili su tori di dimensione tre e quattro e gate in codici qLDPC non topologici. Introduciamo operazioni di coomologia, come le potenze di Pontryagin twistate di ordine superiore, che, per quanto ne sappiamo, non erano mai apparse prima nella letteratura matematica. Queste operazioni derivano da strutture $E_\infty$ sui coanelli, con costruzioni esplicite che usano risoluzioni cicliche e l’operade delle suriezioni. Ci aspettiamo che questi risultati siano di interesse indipendente nella teoria dell’omotopia. Il nostro formalismo si applica in modo molto più ampio ai complessi di catene dotati di strutture operadiche adeguate, e ci aspettiamo che questa prospettiva operadica faccia emergere ulteriori connessioni tra la teoria dell’omotopia e i gate quantistici tolleranti ai guasti.