Retroazione derivativa che tiene conto del rumore per un oscillatore armonico sottoposto a misurazione della posizione al limite quantistico

Abstract degli autori

Studiamo il controllo a retroazione basato su misurazioni di un oscillatore armonico smorzato, motivato da misurazioni della posizione optomeccaniche e interferometriche, in cui la retroazione è generata a partire da una misurazione dello spostamento. Con un controllore derivativo a banda limitata, l’anello modella la suscettività meccanica e reimmette il rumore di misura, creando un compromesso tra stabilizzazione e amplificazione del rumore. Presentiamo una formulazione classica compatta che isola questo compromesso nello spettro dello spostamento ad anello chiuso e individua i parametri che determinano la soppressione della risonanza rispetto all’attuazione indotta dal rumore. Estendiamo quindi la stessa topologia a un rivelatore della posizione al limite quantistico, imponendo il vincolo tra imprecisione di misura e back-action e introducendo una banda di misura finita, che regolarizza la reimmissione del rumore alle alte frequenze e aggiunge un ritardo di fase nel percorso di retroazione. Nel regime di alto-$Q$ ricaviamo una regola analitica per progettare il guadagno ottimale a larghezze di banda fissate per il controllore e la misurazione, e la confrontiamo con calcoli sull’intero spettro. Il confronto mostra che un fattore di qualità meccanico elevato, da solo, non garantisce un accordo quantitativo: l’accuratezza dell’approssimazione in prossimità della risonanza dipende fortemente dalle larghezze di banda del controllore e della misurazione. Poiché una banda di misura finita modifica sia l’ampiezza sia la fase dell’anello di retroazione, l’analisi separa il contributo dello smorzamento in prossimità della risonanza dalla reimmissione del rumore di imprecisione e mostra che, per ottenere uno smorzamento positivo della retroazione in prossimità della risonanza, il prodotto della frequenza di taglio del controllore per la banda di misura deve superare il quadrato della frequenza di risonanza meccanica. Infine, presentiamo una mappa adimensionale dell’occupazione ottimizzata rispetto al guadagno nel regime di alto-$Q$ e confrontiamo le sue previsioni con l’ottimizzazione sull’intero spettro. Tutti i guadagni analitici valutati in questa mappa soddisfano, per questi parametri, il criterio completo di stabilità ad anello chiuso.