Limiti superiori moltiplicativi ottenuti con la programmazione semidefinita sulla capacità a errore zero assistita da correlazioni quantistiche senza segnalazione

Abstract degli autori

Studiamo la comunicazione a errore zero e la simulazione esatta di canali quantistici assistite da correlazioni quantistiche senza segnalazione. Per un canale con spazio degli operatori di Kraus $K$, introduciamo un parametro di programmazione semidefinita $Γ(K)$, esattamente moltiplicativo rispetto ai prodotti tensoriali e che fornisce un limite superiore a $Θ_{\rm NS}(K)$, dove $\log_2Θ_{\rm NS}(K)=C_{0,\rm NS}(K)$ e $C_{0,\rm NS}(K)$ denota la capacità asintotica a errore zero assistita da correlazioni quantistiche senza segnalazione. Tra i limiti superiori noti su $Θ_{\rm NS}$ espressi mediante programmi semidefiniti, $Γ$ è il più stretto. Dimostriamo inoltre che il limite inferiore di simulazione $Σ^{-}(K)$ introdotto in precedenza è esattamente moltiplicativo e soddisfa $Θ_{\rm NS}(K)\leqΓ(K)\leqΣ^{-}(K)\leqΓ(K)^2$. Sfruttando questa proprietà moltiplicativa, mostriamo che, in generale, non vale né $S_{0,\rm NS}(K)=\log_2Σ^{-}(K)$ né la sua versione regolarizzata $S_{0,\rm NS}(K)=\lim\nolimits_{n\to\infty}n^{-1}\log_2Σ^{-}(K^{\otimes n})$. Questo risponde a una questione aperta sul costo asintotico di simulazione $S_{0,\rm NS}(K)$. Per i canali classico-quantistici, otteniamo limiti ottimali. Se $r$ è la dimensione effettiva dell’uscita, allora $Θ_{\rm NS}\leqΓ\leq(1+r^{1/2})Θ_{\rm NS}/2$ e $Γ\leqΣ^{-}\leq(1+r^{1/2})Γ/2$. Se $k$ è il rango minimo dei proiettori di supporto dell’uscita, allora $Σ^{-}/Θ_{\rm NS}\leq[(1+r^{1/2})/(1+k^{1/2})]^2$, e questo limite è ottimale per ogni $1\leq k\leq r$. Otteniamo così il limite ottimale $S_{0,\rm NS}-C_{0,\rm NS}\leq2\log_2[(1+r^{1/2})/(1+k^{1/2})]$.