Disuguaglianza log-Sobolev, entropia di von Neumann ed entanglement di formazione

Abstract degli autori

Presentiamo due risultati derivati dalla disuguaglianza log-Sobolev ottimale per la misura uniforme su un grafo completo, che riguardano l’entropia di von Neumann e l’entanglement di formazione di uno stato di sistemi quantistici a dimensione finita e infinita. Il primo risultato è una stima ottimale di semicontinuità inferiore di tipo Lipschitz per l’entropia di von Neumann in ogni stato misto $ρ$ con spettro positivo uniforme (cioè uno stato proporzionale a un proiettore), rispetto al deficit di fedeltà: la disuguaglianza $\,S(ρ)-S(σ)\leq C_ρ(1-F(ρ,σ))\,$ è valida per ogni stato $σ$, dove $C_ρ$ è una costante che dipende dal rango di $ρ$. Il secondo risultato è una stima ottimale di semicontinuità inferiore di tipo Lipschitz per l’entanglement di formazione in ogni stato puro $ρ$ i cui stati marginali hanno spettro positivo uniforme, rispetto al deficit di fedeltà: la disuguaglianza $\,E_F(ρ)-E_F(σ)\leq C_ρ(1-\mathrm{Tr}ρσ)\,$ è valida per ogni stato $σ$, dove $C_ρ$ è una costante che dipende dal rango di Schmidt di $ρ$. In entrambi i casi, la costante ottimale $C_ρ$ coincide con la costante ottimale $K_{d}$ della disuguaglianza log-Sobolev per il grafo completo con $d$ vertici: nel primo caso $d=\mathrm{rank}ρ$, nel secondo $d=\mathrm{rank}ρ_A=\mathrm{rank}ρ_B$. Gli autori sono grati a GPT 5.6 per la preziosa discussione e l’aiuto tecnico nella preparazione di questa nota.