Gerarchie di rilassamento locale per le energie dello stato fondamentale di sistemi quantistici: garanzie di convergenza e algoritmi di passaggio di messaggi

Abstract degli autori

Le gerarchie di rilassamento convesso forniscono limiti inferiori all’energia dello stato fondamentale dei sistemi quantistici a molti corpi, calcolabili in tempo polinomiale su un computer classico a qualsiasi livello fissato della gerarchia. Tuttavia, applicare questi metodi a sistemi di grandi dimensioni e ottenere approssimazioni accurate resta difficile, a causa del costo computazionale dei risolutori tradizionali e della scarsità di garanzie di efficienza. In questo lavoro sviluppiamo gerarchie di rilassamento locale e algoritmi di passaggio di messaggi efficienti e altamente parallelizzabili per stimare le energie rilassate dello stato fondamentale. Mostriamo che il primo livello della gerarchia — basato sulla consistenza locale delle matrici densità ridotte a coppie — è esatto per hamiltoniane commutanti su alberi. Dimostriamo inoltre che un’altra gerarchia, basata su intervalli consistenti, converge esponenzialmente al crescere della dimensione dell’intervallo verso l’energia dello stato fondamentale per perturbazioni deboli di hamiltoniane separabili su una catena, fornendo così un algoritmo classico efficiente per questi sistemi. Presentiamo poi due varianti di algoritmi di passaggio di messaggi che richiedono un tempo pari a $\mathcal{O}(n/ε^2)$ e $\mathcal{O}(n/ε)$ per qualsiasi livello fissato della gerarchia locale su grafi di grado limitato, dove $ε$ è la precisione dell’energia rilassata dello stato fondamentale per sito. Ciò presuppone che la norma dei messaggi ottimali sia $\mathcal{O}(1)$, una condizione che osserviamo in contesti pratici nei nostri esperimenti. Questi algoritmi si basano sul metodo del sottogradiente e sul metodo di discesa del gradiente accelerata di tipo Nesterov, applicati a una funzione obiettivo smussata tramite entropia. Infine, confrontiamo gli algoritmi di passaggio di messaggi su diverse hamiltoniane quantistiche, geometrie reticolari e livelli di rilassamento, convalidando le previsioni teoriche e il loro potenziale di superare i risolutori standard di ottimizzazione convessa per questo problema. Rendiamo disponibile la libreria risultante all’indirizzo github.com/rick1924/gse-message-passing.