Non è necessario che i trentasei ufficiali di Eulero siano tutti entangled: stati AME(4,6) reali, famiglie e classificazione

Abstract degli autori

Gli stati assolutamente massimamente entangled di quattro sistemi a sei livelli, AME$(4,6)$, sono le soluzioni quantistiche del problema dei trentasei ufficiali di Eulero. Fino a poco tempo fa, tutte le soluzioni riportate erano complesse e si congetturava che non esistesse una matrice 2-unitaria ortogonale reale di ordine $36$. Presentiamo stati AME$(4,6)$ reali con $60$ coefficienti non nulli in $\{\pm1,\sqrt2\}/\sqrt{72}$. Dei loro trentasei ufficiali, $12$ sono classici, come deve necessariamente accadere ogni volta che i coefficienti non nulli sono meno di $72$. Gli ufficiali si trovano nell’autospazio di autovalore $-1$ di una simmetria locale di ordine $4$ e, sul loro supporto, le condizioni AME diventano lineari. Ricaviamo due famiglie in forma chiusa di stati AME$(4,6)$ che si incontrano in uno di questi stati: una famiglia a $10$ parametri, supportata da $72$ stati della base, e una a $11$ parametri, supportata da $60$ stati della base. A ciascuno dei due estremi della prima famiglia vengono meno $12$ coefficienti, e gli stati AME sui $60$ stati della base rimanenti formano una famiglia a $11$ parametri: la seconda famiglia a un estremo e una famiglia analoga all’altro. Queste due famiglie a $60$ termini contengono $4096$ stati AME reali a meno di unitarie locali diagonali, di cui $1024$ sono limiti della prima famiglia. Si suddividono esattamente in $20$ classi rispetto alle unitarie locali e alle permutazioni delle parti, e ne certifichiamo la distinzione con l’aritmetica intervallare.