Codici torici a ogni livello: disaccoppiare i codici CSS topologici invarianti per traslazione in dimensioni superiori

Abstract degli autori

I codici topologici Calderbank-Shor-Steane (CSS) in più di due dimensioni spaziali offrono caratteristiche utili per la computazione quantistica tollerante ai guasti, come gate non-Clifford trasversali e decodifica single-shot, ma manca ancora una comprensione sistematica di questi codici. Un approccio consiste nel disaccoppiare un codice: trasformarlo in una pila di codici torici di forma superiore mediante un circuito di Clifford locale, a profondità finita e che preserva la struttura CSS, eventualmente dopo aver aggiunto ancille. Per i codici CSS $p$-ari invarianti per traslazione, dove $p$ è primo ($p=2$ per i qubit), richiediamo che il circuito commuti con le traslazioni di un superreticolo. In due dimensioni, questo disaccoppiamento è possibile quando tali traslazioni agiscono in modo banale su ogni tipo di anyone. In dimensioni superiori, le eccitazioni sono suddivise in strati in base alla loro dimensione; questi strati possono restare incollati tra loro anche quando le traslazioni agiscono in modo banale su ciascuno strato. Mostriamo che questo incollamento è l’unico ostacolo rimanente: un codice può essere disaccoppiato su un superreticolo esattamente quando, dopo aver effettuato un coarse-graining fino a quel superreticolo, le traslazioni agiscono in modo banale su ogni strato e l’incollamento scompare. Inoltre, per un codice con un numero finito di tipi di eccitazione in ciascuno strato e $m$ strati non nulli, una volta che le traslazioni agiscono in modo banale su ogni strato, un ulteriore coarse-graining di un fattore di $p^{m-1}$ in ogni direzione elimina l’incollamento descritto. Dal punto di vista fisico, lo stesso criterio determina quando il codice codifica il numero massimo di qudit logici su un toro finito. Infine, presentiamo un algoritmo esplicito che costruisce il disaccoppiamento come circuito di gate SUM (CNOT per qudit) e SWAP.