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La teoria di Hartree fallisce per alcune dinamiche bosoniche non hermitiane
Uno studio pubblicato su Quantum rileva che l’approssimazione di Hartree può non riuscire a descrivere la dinamica di sistemi bosonici a molti corpi governati da hamiltoniane non hermitiane. Gli autori mostrano il problema con esempi risolv
Quantum.world Team · Scritto con l’IA · verificato ·
«I nostri risultati mettono in discussione la validità dell’approssimazione di Hartree di campo medio per le hamiltoniane non hermitiane e indicano la necessità di ulteriori condizioni affinché il regime di campo medio sia valido per modellare le dinamiche di acquisizione e perdita di particelle e le dinamiche dei sistemi aperti nei sistemi bosonici a molti corpi.»
Matias Ginzburg, Simone Rademacher e Giacomo De Palma, autori dello studio
Dove fallisce l’approssimazione di Hartree
Uno studio pubblicato il 22 ottobre su Quantum rileva che una tecnica standard per descrivere grandi sistemi bosonici può fallire quando la loro dinamica è governata da una hamiltoniana non hermitiana. La teoria di Hartree sostituisce il problema a molte particelle con un’equazione efficace per una particella, considerata in movimento nel campo medio prodotto dalle altre. L’approccio è ampiamente usato nei consueti sistemi hermitiani, ma gli autori mostrano che estenderlo alle dinamiche non hermitiane non conserva sempre il corretto comportamento di una particella.
Le hamiltoniane non hermitiane possono descrivere l’acquisizione o la perdita di particelle e l’evoluzione di un sistema quantistico aperto condizionata al fatto che non si verifichino salti quantistici. Il risultato dello studio è importante per questi modelli perché un numero elevato di particelle, da solo, non garantisce che la descrizione a una particella funzioni. Gli autori collegano inoltre il problema a un algoritmo quantistico proposto che usa la dinamica di molte copie per riprodurre equazioni differenziali non lineari: il metodo si basa sulla validità dell’approssimazione di Hartree per la dinamica non hermitiana scelta.
Il contributo trascurato delle altre particelle
Per la classe generale delle hamiltoniane bosoniche di campo medio con interazioni a due corpi, gli autori confrontano l’evoluzione dello stato di una particella nei primi istanti con l’equazione di Hartree. Dimostrano che l’approssimazione fornisce la derivata prima rispetto al tempo corretta all’istante iniziale, ma può fornire una derivata seconda errata anche nel limite di un numero infinito di particelle. Questa discrepanza significa che le due descrizioni possono iniziare a divergere immediatamente, anziché soltanto dopo una lunga evoluzione.
Lo studio riconduce la discrepanza ai termini anti-hermitiani che agiscono su particelle diverse da quella osservata. Nelle dinamiche hermitiane, i termini che agiscono soltanto sulle particelle su cui si effettua la traccia si cancellano nel calcolo dello stato ridotto; i corrispondenti termini anti-hermitiani, invece, non si cancellano. Il loro contributo può crescere con il numero di particelle e amplificare gli scostamenti dallo stato fattorizzato presupposto dalla teoria di Hartree.
Un modello di qubit bosonici cambia comportamento a t = 1/2
Ginzburg, Rademacher e De Palma mostrano il problema in un modello esattamente risolvibile di N qubit bosonici con una hamiltoniana puramente anti-hermitiana. Per quasi tutte le condizioni iniziali che analizzano, lo stato di una particella tende a un limite puro per N grande, ma quel limite segue un’evoluzione diversa da quella prevista dall’equazione di Hartree non hermitiana. Uno stato puro, dunque, non dimostra di per sé che la descrizione di Hartree sia corretta.
Una condizione iniziale bilanciata produce un cambiamento più netto: quando le probabilità iniziali dei due stati di base sono entrambe pari a un mezzo, lo stato limite di una particella segue la teoria di Hartree soltanto fino al tempo critico del modello, t = 1/2. Dopo quel momento diventa misto, mentre la soluzione di Hartree rimane costante. Questo tempo è specifico del modello studiato, non una soglia universale per i sistemi bosonici.
Gli autovalori reali non eliminano il limite dell’approssimazione
Gli autori studiano inoltre numericamente una hamiltoniana non hermitiana con spettro reale. Individuano stati prodotto iniziali per i quali lo stato marginale di una particella continua a non convergere alla soluzione di Hartree al crescere del numero di particelle. L’esempio mostra che il problema non è limitato al modello puramente anti-hermitiano dello studio.
I risultati non dimostrano che ogni modello di Hartree non hermitiano fallisca. Gli autori sostengono invece che, prima di fare affidamento sull’approssimazione nei calcoli relativi alla perdita di particelle e ai sistemi aperti, servano condizioni aggiuntive o verifiche caso per caso. Lo stesso criterio vale per gli algoritmi quantistici basati su rappresentazioni di campo medio a molte copie: l’evoluzione non lineare viene riprodotta soltanto se lo specifico sistema non hermitiano presenta effettivamente il limite di Hartree richiesto.