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Franco-Rubio, Bochniak e Cirac mappano i difetti negli stati a prodotto di matrici
Adrián Franco-Rubio, Arkadiusz Bochniak e J. Ignacio Cirac sviluppano un quadro teorico per i difetti di simmetria negli stati a prodotto di matrici dotati di simmetrie descritte da operatori unitari a prodotto di matrici. Il loro metodo pe
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Rendere locale una simmetria significa di solito imporre vincoli locali che commutano tra loro. Ma per alcune simmetrie degli stati a prodotto di matrici, la costruzione standard non può soddisfare questa condizione senza modificare la struttura dello stato. Adrián Franco-Rubio, Arkadiusz Bochniak e J. Ignacio Cirac propongono un modo per descrivere i difetti alla base di questa incompatibilità e un’alternativa più limitata quando la procedura convenzionale non funziona.
I difetti si spostano dai legami ai siti del reticolo
Gli autori studiano gli stati a prodotto di matrici (MPS) unidimensionali, una rappresentazione a rete tensoriale degli stati quantistici a molti corpi, con simmetrie descritte da operatori unitari a prodotto di matrici (MPU). Per le consuete simmetrie onsite, un difetto può essere rappresentato inserendo un operatore su un legame interno dell’MPS. L’articolo estende questa rappresentazione alle simmetrie MPU, definendo invece tensori di difetto sui siti del reticolo.
Questi difetti localizzati sui siti possono essere creati, spostati lungo la catena e fusi mediante operatori unitari locali. «Nel caso MPU, possiamo definire tensori di difetto analoghi, questa volta collocati sui siti del reticolo, che possono essere creati, spostati e fusi da operatori unitari locali», scrivono gli autori in questo articolo. Il quadro teorico offre ai ricercatori una descrizione a rete tensoriale delle torsioni di simmetria anche quando la simmetria agisce su siti vicini anziché indipendentemente su ciascun sito.
L’indipendenza dei blocchi stabilisce le condizioni
La costruzione dei difetti confluisce in una procedura che promuove la simmetria globale a gradi di libertà di gauge locali. In presenza di una condizione che gli autori chiamano indipendenza dei blocchi, l’MPS risultante mantiene la dimensione di legame originale e presenta vincoli di simmetria locali che commutano. Questa combinazione collega la costruzione a rete tensoriale alla concezione usuale della procedura, in cui vincoli locali compatibili definiscono uno spazio di stati invarianti di gauge.
L’indipendenza dei blocchi non è garantita per ogni MPS simmetrico. Secondo l’articolo, vale sempre per gli MPS iniettivi, ma può non valere per gli stati non iniettivi; anche le rappresentazioni anomale delle simmetrie MPU non soddisfano la condizione. Nei casi non anomali in cui manca l’indipendenza dei blocchi, gli autori osservano che resta possibile una procedura diversa, basata sulla proiezione, ma al prezzo di un aumento della dimensione di legame.
Quando i vincoli smettono di commutare
Per i casi che non soddisfano l’indipendenza dei blocchi, gli autori introducono una «promozione a gauge a livello dello stato». Questa trasforma i difetti in gradi di libertà di gauge e produce un MPS localmente simmetrico con la stessa dimensione di legame, ma i vincoli di gauge risultanti non necessariamente commutano sull’intero spazio di Hilbert. Condividono però un autospazio relativo all’autovalore +1 che contiene lo stato costruito; l’articolo avverte che la dimensione e il significato fisico di tale spazio richiedono ulteriori studi.
Gli esempi comprendono una normale simmetria Z2 non onsite costruita come prodotto di gate controlled-Z tra siti vicini, oltre alla simmetria Z2 anomala nel modello CZX. Questi casi illustrano la distinzione tra conservare l’intera struttura di vincoli commutanti e costruire uno stato localmente simmetrico quando quel requisito più forte non può essere soddisfatto.
Un metodo con un limite definito
Il risultato dell’articolo è un formalismo per trattare i difetti di simmetria e costruire stati a rete tensoriale con simmetria resa locale, non la presentazione di un nuovo dispositivo o di una misurazione sperimentale. Il compromesso centrale è esplicito: i sistemi con blocchi indipendenti consentono di promuovere i difetti a gradi di libertà di gauge con vincoli commutanti e senza modificare la dimensione di legame; oltre questo limite, la procedura a livello dello stato conserva la simmetria dello stato ma rinuncia alla commutazione sull’intero spazio.
Questo limite è importante per usare le reti tensoriali nello studio delle fasi protette da simmetrie non onsite. Gli autori individuano anche una questione aperta: se il sottospazio invariante di gauge nella costruzione a livello dello stato dia luogo a una fisica non banale o cresca con le dimensioni del sistema. Per ora, l’articolo stabilisce come costruire l’MPS localmente simmetrico e precisa che cosa i suoi vincoli garantiscono e che cosa non garantiscono.